1 . 在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
(1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
(2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.

2 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，到直线的距离为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线m与椭圆交于两点，过且与m垂直的直线n与圆O：交于C，D两点，求的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
(1)求曲线的方程；
(2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线、的倾斜角分别为，且，则直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.

4 . 已知函数．
(1)若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若，时，函数有两个极值点，，求证：．

5 . （1）求函数的极值；

（2）若，证明：当时，．

6 . 已知双曲线的渐近线方程为，且点在上．
(1)求的方程；
(2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．

(1)当与圆相切时，求；
(2)求证：直线与直线的交点在圆内．

9 . 已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上､下顶点分别为点，过点的直线与椭圆交于不同两点，且，直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上.

10 . 已知双曲线（，），点是的右焦点，的一条渐近线方程为.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与的右支交于两点，以为直径的圆记为，是否存在定圆与圆内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.