1 . 如图，已知抛物线：，，，过点垂直于轴的垂线与抛物线交于，，点，满足，.

(1)求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
(2)设直线与此抛物线的公共点为，记与的面积分别为，，求的值.

2 . 已知函数，
(1)若，求的极值；
(2)讨论的单调区间；
(3)求证：当时，.

3 . 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点．
(1)求C的方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.

5 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.

6 . 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.

8 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求证：为定值.

9 . 已知函数（且）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：对任意，恒成立．

10 . 若函数．
（1）当时，证明不等式在上无解；
（2）若有两个不同的极值点，求实数a的范围．