1 . 已知函数
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)当时，为在上的零点，求证：.

2 . 已知点是椭圆C：与抛物线：（）的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)若点关于轴的对称点为点，证明：直线与轴交于定点.

3 . 已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（，在轴同侧），求证：是定值.

4 . 已知椭圆的短轴长为2，长轴的左，右端点分别为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1，0)的直线与椭圆交于M，N(不与A，B重合)两点，直线AM与直线交于点Q；求证.

5 . 已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，求证：．

6 . 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)若点，，在椭圆C上，原点O为的重心，证明：的面积为定值．

7 . 已知抛物线：，点在抛物线上.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若直线：交抛物线于M､N两点，交直线：于点P，记直线AM，AP，AN的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.

8 . 已知函数（为常数）的图象与y轴交于点，曲线在点处切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值；
(2)当时，证明恒成立.

9 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

10 . 设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)当时，证明：；