1 . 已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)设m，n是两个不相等的实数，且.求证：.

2 . 已知函数
(1)当时，证明:.
(2)若有两个零点且 求的取值范围.

3 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对于任意的，都有，求证：.

4 . 已知函数，.
(1)求函数的零点个数；
(2)证明：当时，.

5 . 已知函数，．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，，且，证明：．

6 . 已知动圆与直线相切，且与圆外切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与轨迹交于A，两点，点，延长，分别与轨迹交于，两点，设的斜率为，证明：为定值.

7 . 已知函数，，是自然对数的底数．
(1)求函数的最小值；
(2)若在上恒成立，求实数的值；
(3)求证：．

8 . 已知函数，（其中a为非零实数）
(1)讨论的单调性：
(2)若函数（e为自然对数的底数）有两个零点，求证：.

9 . 已知椭圆C：（）的短轴长为2，，分别为椭圆C的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且，证明：直线l恒过定点.

10 . 已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．