1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

2 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．

3 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于x的不等式恒成立，证明：.

4 . 已知函数(为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处切线斜率为-1．
(1)求a的值及函数的极值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：对任意给出的正数c，总存在，使得当时恒有.

5 . 已知函数，g .
(1)求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，求证： .

6 . 已知函数，，若在处取得极小值．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：．

7 . 已知椭圆C：的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为k的动直线l与椭圆C交于A､B两点，点在直线l上，求证无论直线l如何转动，以为直径的圆恒过点.

8 . 如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

9 . 已知椭圆C：（）的两个顶点分别为点，，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作的垂线交于点E.证明：与的面积之比为定值.

10 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．