1 . 对于非空集合
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”
，简记为
．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
3.（恒等元）存在
，使得对任意
，
；
4.（逆的存在性）对任意，都存在
，使得
．
记群所含的元素个数为
，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意
，
，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；
(2)记
为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群
，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足；3.（恒等元）存在
，使得对任意，；4.（逆的存在性）对任意
，都存在，使得．记群
所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；(2)记
为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群？请说明理由．
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2 . 已知有穷数列A：
（
且
）.定义数列A的“伴生数列”B：
，其中
（
），规定
，
.
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1，
，1，，1.
（2）已知数列B的“伴生数列”C：
，
，…，
，…，
，且满足
（
，2，…，n）.
（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；
（ⅱ）求数列C所有项的和.
（且）.定义数列A的“伴生数列”B：，其中（），规定，.（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1，
，1，，1.（2）已知数列B的“伴生数列”C：
，，…，，…，，且满足（，2，…，n）.（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；
（ⅱ）求数列C所有项的和.
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3 . 已知数列
是无穷数列，满足
.
（1）若
，
，求
，
，
的值；
（2）求证：“数列中存在
使得
”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得
.
是无穷数列，满足.（1）若
，，求，，的值；（2）求证：“数列
中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（3）求证：存在正整数k，使得
.
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2020-09-13更新
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1020次组卷
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3卷引用：2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题
2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题上海市复旦大学附属中学青浦分校2020届高三下学期开学摸底数学试题（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练
4 . 对于无穷数列
，若
，
，则称数列
是数列
的“收缩数列”，其中
分别表示
中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为
，数列
是数列的“收缩数列”
（1）若
求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若
，求所有满足该条件的数列．
，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”（1）若
求数列的前n项和；（2）证明：数列
的“收缩数列”仍是；（3）若
，求所有满足该条件的数列．
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2020-09-03更新
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1071次组卷
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4卷引用：2020届上海市青浦区高三二模数学试题
5 . 已知集合
，且
中的元素个数
大于等于5.若集合中存在四个不同的元素
，使得
，则称集合是“关联的”，并称集合
是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合
和集合
是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有 的关联子集；
已知集合
是“关联的”，且任取集合
，总存在的关联子集
，使得
.若
，求证：
是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在
，使得
.
，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得.
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2020-02-09更新
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1532次组卷
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9卷引用：2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题（已下线）专题02 拿高分题目强化卷（第三篇）-备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）北京市海淀区2021届高三模拟试题（一）（已下线）考点47 推理与证明-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高二5月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题北京市朝阳区中国人民大学朝阳分校2021-2022学年高三上学期开学考数学试题
6 . 设
为正整数，区间
（其中
，
）同时满足下列两个条件：①对任意
，存在
使得
；②对任意
，存在，使得
，其中
表示除
外的
个集合的并集.
（1）若
，判断以下两个数列是否满足条件：①
；②
？（结论不需要证明）
（2）求的最小值；
（3）判断是否存在最大值，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：①对任意，存在使得；②对任意，存在，使得，其中表示除外的个集合的并集.（1）若
，判断以下两个数列是否满足条件：①；②？（结论不需要证明）（2）求
的最小值；（3）判断
是否存在最大值，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
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2020-07-16更新
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430次组卷
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2卷引用：上海市复旦附中2020届高三下学期期末数学试题
7 . 已知函数
.
（1）若
.证明函数
有且仅有两个零点；
（2）若函数存在两个零点
，证明：
.
.（1）若
.证明函数有且仅有两个零点；（2）若函数
存在两个零点，证明：.
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名校
8 . （1）求证：椭圆
中斜率为
的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；
（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；
（3）我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中
，
，
.如图，设点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
是“果圆” 与
，
轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.
中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；
（3）我们把由半椭圆
与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.
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名校
9 . 给定数列，若满足
（且
），对于任意
，都有
，则称数列为指数数列.
（1）已知数列、的通项公式分别为
，
，试判断、是不是指数数列（需说明理由）；
（2）若数列满足：，
，
，证明：是指数数列；
（3）若是指数数列，
，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
，若满足（且），对于任意，都有，则称数列为指数数列.（1）已知数列
、的通项公式分别为，，试判断、是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列
满足：，，，证明：是指数数列；（3）若
是指数数列，，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
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2020-01-09更新
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632次组卷
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2卷引用：上海市曹杨二中2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题
10 . 已知
， 
．
（1）求
的值；
（2）试猜想
的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．
， ．（1）求
的值；（2）试猜想
的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．
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2018-01-18更新
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912次组卷
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5卷引用：南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学（理）试题
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学（理）试题（已下线）二轮复习测试专项 【新课标版理科数学】专题七 排列组合二项式定理（已下线）2018年高考二轮复习测试专项【苏教版】专题九 算法 推理与证明 复数江苏省连云港市锦屏高级中学2017-2018学年高二下学期期中数学(理)试题2020届江苏省南通市西亭高级中学高三上学期第一次校内模拟测试数学(理)试题
