名校
1 . （1）已知
，若
为实数，求
的值.
（2）已知复数
满足
，若复数
是实系数一元二次方程
的一个根，求
的值.
，若为实数，求的值.（2）已知复数
满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值.
您最近半年使用：0次
2024·全国·模拟预测
解题方法
2 . 软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美，还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．越来越多的家长开始注重孩子的书法教育，某书法培训机构统计了其招收的所有学生中每种软笔书法学习人数（每人只学习一种书体）的情况，得到相关统计数据如下：
(1)该培训机构统计了某周学习软笔书法学生的作业完成情况，得到下表：
补全2×2列联表，并判断能否有
的把握认为是否认真完成作业与性别有关；
(2)现从该培训机构学习楷书与行书的学生中，按学生学习的书体用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
．
| 书体 | 楷书 | 行书 | 草书 | 隶书 | 篆书 |
| 人数 | 24 | 16 | 10 | 20 | 10 |
| 认真完成 | 不认真完成 | 总计 | |
| 男生 | 7 | 27 | |
| 女生 | |||
| 总计 | 65 |
的把握认为是否认真完成作业与性别有关；(2)现从该培训机构学习楷书与行书的学生中，按学生学习的书体用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
． | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
您最近半年使用：0次
名校
3 . “十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：
，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间
和
内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．
列联表，并根据小概率值
的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；
(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为
，求的分布列与数学期望．
附：
，其中
．
，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．
列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；年龄群体 | 运动会 | 合计 | |
关注 | 不关注 | ||
青少年群体 | 40 | ||
中老年群体 | |||
合计 | 60 | 40 | 100 |
(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为
，求的分布列与数学期望．附：
，其中．
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
您最近半年使用：0次
名校
解题方法
4 . 某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的列联表．
根据小概率值
的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量
，其中．
临界值表：
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的
列联表．| 体育成绩 | 学业成绩 | 合计 | |
| 优秀 | 不优秀 | ||
| 不优秀 | 200 | 400 | 600 |
| 优秀 | 100 | 100 | 200 |
| 合计 | 300 | 500 | 800 |
的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？参考公式：独立性检验统计量
，其中．临界值表：
| α | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
您最近半年使用：0次
5 . 2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从
处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从
号出口走出，且从号出口走出，返现金元．
判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？
附：
(2)走迷宫“路过路口
”记为事件，从“号走出”记为事件
，求
和
的值；
(3)设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？
处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出，且从号出口走出，返现金元．
| 男性 | 女性 | 总计 | |
| 喜欢走迷宫 | 12 | 18 | 30 |
| 不喜欢走迷宫 | 13 | 7 | 20 |
| 总计 | 25 | 25 | 50 |
的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？附：
 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)走迷宫“路过路口
”记为事件，从“号走出”记为事件，求和的值；(3)设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？
您最近半年使用：0次
2024·全国·模拟预测
6 . 现已知甲、乙两公司员工月薪情况统计如下：
甲公司
乙公司
(2)已知甲公司员工月薪在8000—10000元的人数为300，乙公司员工月薪在8000—10000元的人数为400，求甲、乙两公司所有员工中，月薪不低于10000元的频率；
(3)某猎头公司对1000名求职者的就业意愿进行了调查，得到如下统计表格：
根据表格，是否有
的把握认为“就业意愿与年龄结构有关”？
附：
（其中）.
甲公司
| 月薪范围/千元 |  |  |  |  |
| 频率 | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
(2)已知甲公司员工月薪在8000—10000元的人数为300，乙公司员工月薪在8000—10000元的人数为400，求甲、乙两公司所有员工中，月薪不低于10000元的频率；
(3)某猎头公司对1000名求职者的就业意愿进行了调查，得到如下统计表格：
| 年龄结构 就业意愿 | 95后 | 00后 |
| 选择甲公司 | 200 | 250 |
| 选择乙公司 | 200 | 350 |
的把握认为“就业意愿与年龄结构有关”？附：
（其中）. | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
您最近半年使用：0次
解题方法
7 . 
被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
，则我们可以简化复数乘法
．
(1)已知
，求
；
(2)已知O为坐标原点，
，且复数
在复平面上对应的点分别为
，点C在
上，且
，求
；
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以
．
类比上述过程，求出
．（将
表示成
的式子，将
表示成
的式子）（参考公式：
）
被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．(1)已知
，求；(2)已知O为坐标原点，
，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以．类比上述过程，求出
．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）
您最近半年使用：0次
名校
解题方法
8 . 2023张信哲世界巡回演唱会在唐山站正式启动，9月9日唐山新体育中心体育场一起来见证情歌王子的魅力现场!为了了解关注该演唱会是否与性别有关，某电视台随机抽取200名观众进行统计，得到如下列联表.
(1)能否有
的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”；（运算结果保留三位小数）
附：
，其中.
(2)演唱会结束后，现场开启有奖竞猜活动.规定同组三个人中至少有两个人答对这道题目就可以获得神秘奖品.甲、乙、丙三人现场组队参赛，已知甲和乙能答对这道题的概率为
和
，三人都答对这道题的概率为
，求三个人能获得神秘奖品的概率.
列联表.| 男 | 女 | 合计 | |
| 关注演唱会 | 70 | 10 | 80 |
| 不关注演唱会 | 80 | 40 | 120 |
| 合计 | 150 | 50 | 200 |
的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”；（运算结果保留三位小数）附：
，其中. | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
和，三人都答对这道题的概率为，求三个人能获得神秘奖品的概率.
您最近半年使用：0次
名校
9 . 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
(1)请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望．
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为
，求的期望和方差．
附：，其中．
(1)请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
| 上课转笔 | 上课不转笔 | 合计 | |
| 合格 | 25 | ||
| 优秀 | 10 | ||
| 合计 | 100 |
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为
，求的分布列和数学期望．(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为
，求的期望和方差．附：
，其中． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
您最近半年使用：0次
名校
10 . 为了研究不同性别学生与患色盲的关系，在男、女学生各取100名进行调查.统计的列联表如下. 从这200名学生随机抽取1人.
(1)求抽取的1人患色盲的概率？
(2)根据小概率值
独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？
(3)从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.（
与对应值见下表. 
，
| 男 | 女 | 合计 | |
| 色盲 | 6 | 3 | 9 |
| 非色盲 | 94 | 97 | 191 |
| 合计 | 100 | 100 | 200 |
(1)求抽取的1人患色盲的概率？
(2)根据小概率值
独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？(3)从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.（
与对应值见下表. ，
| 0.1 | 0.05 | 0.01 |
| | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
您最近半年使用：0次
