1 . 阅读以下材料并回答问题：
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数
，满足
的所有复数
称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数
，都有
，则称这种复数为次本原单位根．例如，
时，存在四个4次单位根
，
，因为
，
，因此只有两个4次本原单位根；
②分圆多项式：对于正整数，设次本原单位根为
，则多项式
称为次分圆多项式，记为
；例如
；
回答以下问题：
(1)直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
(2)求出
，并计算
，由此猜想
的结果，（将结果表示为
的形式）（猜想无需证明）；
(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为
，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为
，复平面上一点
所对应的复数
满足
，求
的取值范围．
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数
，满足的所有复数称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次本原单位根．例如，时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根；②分圆多项式：对于正整数
，设次本原单位根为，则多项式称为次分圆多项式，记为；例如；回答以下问题：
(1)直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
(2)求出
，并计算，由此猜想的结果，（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）；(3)设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为
，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．
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2 . 据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）．现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：
(1)请补充
列联表，并判断能否有
的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量
表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．
青壮年 | 中老年 | 合计 | |
自由行 | 60 | 40 | |
跟团游 | 20 | 50 | |
合计 |
列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量
表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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解题方法
3 . 随着近年来的生活质量提高，饮食结构改变，生活压力增加，中青年人也逐渐成为动脉粥样硬化性心血管疾病
的高危人群．血脂异常是
的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表：
把年龄在
内的人称为青年，年龄在
内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显．
(1)补全下面的列联表．
(2)判断以35岁为分界点，根据小概率值
的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关．
参考公式：
．
附表：
的高危人群．血脂异常是的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表：
|
|
|
| |
1次 | 40 | 50 | 50 | 90 |
| 100 | 60 | 100 | 50 |
| 61 | 75 | 55 | 43 |
10次以上 | 7 | 7 | 5 | 7 |
次
次内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显．(1)补全下面的
列联表．效果 | 年龄 | 合计 | |
青年 | 中年 | ||
效果不明显 | |||
效果明显 | |||
合计 | |||
的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关．参考公式：
．附表：
 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
4 . （1）计算
；
（2）已知关于
的方程
有实数解，求纯虚数.
；（2）已知关于
的方程有实数解，求纯虚数.
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解题方法
5 . 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费
（单位：百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：令
，数据经过初步处理得：
现有①
和②
两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量
影响，设随机变量服从正态分布
，且满足
.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数
，
回归直线
中公式分别为
，
；
②参考数据：
，
，
，
.
（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：  |  |  |  |  |  |  |
| 44 | 4.8 | 10 | 40.3 | 1.612 | 19.5 | 8.06 |
和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量
影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.附：①相关系数
，回归直线
中公式分别为，；②参考数据：
，，，.
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解题方法
6 . 在复平面内，点A，B对应的复数分别是
，
（其中
是虚数单位），设向量
对应的复数为.
(1)求复数；
(2)求
；
(3)若
，且
是纯虚数，求实数的值.
，（其中是虚数单位），设向量对应的复数为.(1)求复数
；(2)求
；(3)若
，且是纯虚数，求实数的值.
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解题方法
7 . 第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会．为开好本次大运会，各个行业都力争做到报好．
(1)某体校田径队在备战期间对选手进行了考核，考核设有100米、400米和1500米三个项目，选手需要依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为
，
和
（
，
，1，2），总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为
，
，
，每次考核是否达标相互独立．用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
(2)某体育用品店统计了2023年1~5月份运动器材销量
（单位：千套）与售价（单位：元）的情况，统计结果如下表所示：
求
的相关系数
，并判断销量与售价是否有很强的线性相关性．（当
时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）．
参考公式：对于一组数据
，
相关系数
，参考数据：
．
(1)某体校田径队在备战期间对选手进行了考核，考核设有100米、400米和1500米三个项目，选手需要依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为
，和（，，1，2），总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；(2)某体育用品店统计了2023年1~5月份运动器材销量
（单位：千套）与售价（单位：元）的情况，统计结果如下表所示：月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
器材售价 | 100 | 90 | 80 | 70 | 60 |
销量 | 5 | 7.5 | 8 | 9 | 10.5 |
的相关系数，并判断销量与售价是否有很强的线性相关性．（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）．参考公式：对于一组数据
，相关系数
，参考数据：．
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解题方法
8 . 春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有
呈阴性（未感染）.
(1)估计该市流感感染率是多少？
(2)根据所给数据，判断是否有
的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；
(3)已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：
，
呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）.(1)估计该市流感感染率是多少？
(2)根据所给数据，判断是否有
的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；(3)已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：
， | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
9 . 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与者中随机抽取200人（中老年、青少年各100人），根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求a、b的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有
的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关.
附：
，
.
(1)求a、b的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知抽取的这200人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有38人，判断是否有
的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关.附：
，. | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
10 . 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：
）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于
的散点图，并用直线
与
将散点图分成如图所示的四个区域I，II，III，IV，落入对应区域的样本点的个数依次为
.列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于
”与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
(2)经计算得到回归方程为
，且这50天的汽车日流量的标准差
252，PM2.5的平均浓度的标准差
，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.
参考公式：
，其中.
回归方程
，其中
.
相关系数
.若
，则认为与有较强的线性相关性.
（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I，II，III，IV，落入对应区域的样本点的个数依次为.
列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”有关；汽车日流量 | 汽车日流量 | 合计 | |
PM2.5的平均浓度 | |||
PM2.5的平均浓度 | |||
| 合计 |
(2)经计算得到回归方程为
，且这50天的汽车日流量的标准差252，PM2.5的平均浓度的标准差，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.参考公式：
，其中. | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中.相关系数
.若，则认为与有较强的线性相关性.
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