1 . 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的最大值．

2 . 惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；
（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，，
，，，

4 . 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．
（1）对于数列：，写出集合及；
（2）求证：不可能为18；
（3）求的最大值以及的最小值．

5 . 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0，1，2，3，…时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列．例：，，，…．

（1）写出数列的通项公式（结果用组合数表示），无需证明；
（2）猜想，与的大小关系，并用数学归纳法证明．

6 . 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一﹣．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设 ，则曲线在点处的切线方程为_____，用此结论计算_____．

7 . 衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为

A．152

B．134

C．128

D．102

8 . 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

9 . 设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.
（1）设，，请计算，，；
（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.

10 . 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（       ）

①由图1和图2面积相等得；
②由可得；
③由可得；
④由可得．

A．①②③④

B．①②④

C．②③④

D．①③