1 . 已知函数.
(1)当时，，求的最大值；
(2)设，证明：.

2 . 已知函数，
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间内有唯一极值点，解答以下问题：
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：在区间内有唯一零点，且.

4 . 已知函数，设，.
(1)若在上有解，求的取值范围；
(2)若，证明：当时，成立；
(3)若恰有三个不同的根，证明：.

5 . 已知．
(1)求函数的单调增区间；
(2)若函数在两个极值点与，证明：．

6 . 已知函数
(1)若1是的极值点，求a的值；
(2)求的单调区间：
(3) 已知有两个解，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.

7 . 已知函数．
(1)求函数的零点；
(2)证明：当时，函数是上的严格增函数；
(3)设，若对任意，恒成立，求正实数的取值范围．

8 . 已知．
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．

9 . 已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．

10 . 已知函数．
(1)当时，，求实数m的取值范围；
(2)若，使得，求证：．