1 . 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米．

   

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．

2 . 证明：当时，能被64整除．

3 . 求证：若，且可被5整除，则中至少有一个能被5整除.

4 . （1）若是不相等的两个正数，求证：
（2）已知，求证：中至少有一个小于2．

5 . 已知复数，其中为虚数单位.
（1）若复数是实数，求实数的值；
（2）若复数是纯虚数，求实数的值.

6 . 对于任意的复数，定义运算为．
（1）设集合{均为整数}，用列举法写出集合；
（2）若，为纯虚数，求的最小值；
（3）问：直线上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点对应的复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．

7 . 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.
（1）对于数列：，求，；
（2）求证：；
（3）求的最大值.

8 . 已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根是、.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.

9 . 如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．

（1）求函数的解析式;
（2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义．

10 . 已知复数满足，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程()的一个根，求实数与的值.