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解题方法
1 . 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线
具有连续转动的切线，在点
处的曲率
，其中
为
的导函数，
为的导函数，已知
．
(1)
时，求在极值点处的曲率；
(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)
，
，当，
曲率均为0时，自变量最小值分别为
，
，求证：
．
具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．(1)
时，求在极值点处的曲率；(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)
，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：．
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解题方法
2 . 已知函数
．
(1)当时，求函数在区间
上的最大值；
(2)若当
时，
恒成立，求a的取值范围．
．(1)当
时，求函数在区间上的最大值；(2)若当
时，恒成立，求a的取值范围．
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3 . 已知函数
．
(1)讨论的单调性；
(2)当
时，求证：
．
．(1)讨论
的单调性；(2)当
时，求证：．
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4 . 已知函数
，
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若
，
，使得
，求
的取值范围．
，．(1)讨论函数
的单调性；(2)若
，，使得，求的取值范围．
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解题方法
5 . 已知函数
．
(1)证明：
；
(2)设函数
，若
恒成立，求
的最小值；
(3)若方程
有两个不相等的实根
，求证：
．
．(1)证明：
；(2)设函数
，若恒成立，求的最小值；(3)若方程
有两个不相等的实根，求证：．
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解题方法
6 . 已知奇函数
在
处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)若
，使得
有解，求实数
的取值范围．
在处取得极大值2．(1)求
的解析式；(2)若
，使得有解，求实数的取值范围．
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解题方法
7 . 已知函数
，
．
(1)求函数在区间
上的最大值；
(2)若
，
恒成立，求实数a的取值范围．
，．(1)求函数
在区间上的最大值；(2)若
，恒成立，求实数a的取值范围．
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解题方法
8 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图像，定义双曲正弦函数
.类比三角函数的性质:①平方关系:
，②导数关系:
.
(1)直接写出
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：
(2)证明:当
时，
;
(3)求
的最小值.
的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:.(1)直接写出
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：(2)证明:当
时，;(3)求
的最小值.
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9 . 设函数
.
(1)求曲线
在处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值；
(3)求出方程
的解的个数.
.(1)求曲线
在处的切线方程；(2)求
的单调区间与极值；(3)求出方程
的解的个数.
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10 . 已知函数
，当
时，取得极值
．
(1)求的解析式；
(2)求函数的单调区间；
(3)求在区间
上的最值．
，当时，取得极值．(1)求
的解析式；(2)求函数
的单调区间；(3)求
在区间上的最值．
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2024-05-02更新
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362次组卷
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2卷引用：黑龙江省哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
