1 . 从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是．
(1)画出函数的图象；
(2)求证：；
(3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大．

2 . 甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）.每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第格的概率为.
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望；
(2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式.

4 . 设数列的前项和为，已知，且．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．

5 . 某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：

	数学成绩良好	数学成绩不够良好
语文成绩良好	12	10
语文成绩不够良好	8	5

(1)能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)
(2)从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文成绩良好”，与的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R．
(i)证明：；
(ii)利用该表中数据，给出，的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．
附：，

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

6 . 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲	30天	20天	40天	10天
乙	20天	25天	15天	40天

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．

7 . 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．

10 . 2022年10月2日，党的二十大胜利闭幕，为了更好的学习二十大精神，某市市委宣传部面向全市各部门开展了二十大宣讲活动．某都门为了巩固活动成果，面向其下属甲、乙、丙三个单位开展“领悟二十大精神”知识竞赛，竞赛成绩达到95分以上（含95分）的单位将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的单位及冠军得主，收集了甲、乙、两三个单位以往的知识竞赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）；
甲：98，97，95.5，95.4，94.8，94.2，94，93.5，93，92.5；
乙：97.8，95.6，95.1，93.6，93.2，92.3；
丙：98.5，96.5，92，91.6
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个单位的知识竞赛成绩相互独立．
(1)估计甲单位在“知识竞赛”中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙三个单位中获得优秀奖的单位总数，估计X的数学期望EX；
(3)在“领悟二十大精神”知识竞赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）