1 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)当时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.

2 . 已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，P为正方体的内切球上任意一点，则（       ）

A．球被截得的弦长为

B．的范围为

C．与所成角的范围是

D．球被四面体表面截得的截面面积为

3 . 已知点在抛物线：上，、为抛物线上的两个动点，不垂直于轴，为焦点，且.
(1)求的值，并证明的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中的定点为，求面积的最大值.

4 . 已知平面向量，，满足：，，，，则向量，的夹角为______；向量在向量上投影数量的取值范围是______．

5 . 在给出的下列命题中，正确的是（       ）

A．已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心

B．已知平面向量，，满足，，则为等腰直角三角形

C．已知平面向量，，满足，且，则是等边三角形

D．在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为1．

6 . 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．
   
(1)求边的长度；
(2)若，求的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．

8 . 如图，在中，，点是上一点，与交于点，且，记.

      

(1)若，求实数的值；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值.

9 . 如图，已知的内接四边形中，，则（       ）

A．四边形的面积为12

B．该外接圆的半径为

C．

D．过作交于点，则

10 . 已知函数若函数有4个零点，则的取值可能是（       ）

A．

B．-1

C．0

D．2