1 . 已知函数，设．
（1）判断函数零点的个数，并给出证明；
（2）首项为的数列满足：①；②．其中．求证：对于任意的，均有．

2 . 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.

3 . 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，点是棱的中点，点为棱上一点，且．

   

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

4 . 如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线.

(1)求证：；
(2)截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积.

5 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，求证：当时，恰有两个零点.

6 . 如图所示，在四棱台中，底面是菱形，平面.

(1)证明：；
(2)若，棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角余弦值为.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

7 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.

8 . 在中，角所对的边分别为，向量，向量，且.
(1)求证：；
(2)延长至点，使得.当最大时，求的值.

9 . 已知椭圆的短轴长为，左顶点到左焦点的距离为1.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，点A是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，且都在轴的上方，点的坐标为.证明：.

10 . 如图1，在中，，，，P是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得.
       
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的余弦值.