1 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作,在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理,其内容为:在一个三角形中,三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段,与这个角的两邻边对应成比例.例如,在中(图1),为的平分线,则有.
(2)如图2,已知的重心为,内心为,若的连线.求证:.
(1)试证明角平分线定理;
(2)如图2,已知的重心为,内心为,若的连线.求证:.
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解题方法
2 . 悬索桥(如图)的外观大漂亮,悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为,其中为参数.当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明,并求函数的最小值;
①;
②;
③.
(2)求证:,.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明,并求函数的最小值;
①;
②;
③.
(2)求证:,.
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2022-02-01更新
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1268次组卷
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7卷引用:江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期“同济大学”杯数理化联赛数学试题重庆市2023届高三下学期3月月度质量检测数学试题湖南省株洲市南方中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题(已下线)重难点突破02 函数的综合应用(九大题型)(已下线)压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式)讲(已下线)压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式)讲
3 . “太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦……”,“大衍数列”来源于《乾坤谱》,用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是:0,2,4,8,12,18,24,…,且满足其中.
(1)求(用表示);
(2)设数列满足:其中,是的前项的积,求证:,.
(1)求(用表示);
(2)设数列满足:其中,是的前项的积,求证:,.
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2023-11-11更新
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1160次组卷
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4卷引用:江苏省盐城市2023-2024学年高三上学期期中数学试题
江苏省盐城市2023-2024学年高三上学期期中数学试题重庆市2024届高三上学期11月月度质量检测数学试题福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷(已下线)专题10 数列不等式的放缩问题 (7大核心考点)(讲义)
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4 . 如图,已知四面体中,平面,.
(1)求证:;
(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,若此“鳖臑”中,,有一根彩带经过面与面,且彩带的两个端点分别固定在点和点处,求彩带的最小长度;
(3)若在此四面体中任取两条棱,记它们互相垂直的概率为;任取两个面,记它们互相垂直的概率为;任取一个面和不在此面上的一条棱,记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小.
(1)求证:;
(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,若此“鳖臑”中,,有一根彩带经过面与面,且彩带的两个端点分别固定在点和点处,求彩带的最小长度;
(3)若在此四面体中任取两条棱,记它们互相垂直的概率为;任取两个面,记它们互相垂直的概率为;任取一个面和不在此面上的一条棱,记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小.
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2023-01-11更新
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378次组卷
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3卷引用:上海市浦东新区2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
5 . 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义:“阳马”是指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥;“堑堵”是指底面是直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示,在堑堵中,若, .(1)求证:四棱锥为阳马;
(2)若直线与平面所成的角为时,求该堑堵的体积;
(3)当阳马的体积最大时,求点到平面的距离.
(2)若直线与平面所成的角为时,求该堑堵的体积;
(3)当阳马的体积最大时,求点到平面的距离.
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2023-02-03更新
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244次组卷
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2卷引用:上海市回民中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
6 . 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P与A、B距离之比为,当面积最大时,( )
A. | B. | C.8 | D.16 |
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2022-10-25更新
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508次组卷
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3卷引用:贵州省贵阳市“三新”改革联盟校2022-2023学年高二上学期联考试题(五)数学试题
贵州省贵阳市“三新”改革联盟校2022-2023学年高二上学期联考试题(五)数学试题山西省山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题(已下线)专题11 平面向量小题全归类(13大核心考点)(讲义)
解题方法
7 . 中国是纸的故乡,折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中,并且利用折纸来研究几何学,很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次,纸片上会留下一条折痕,如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后,纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图,一张圆形纸片的圆心为点D,A是圆外的一个定点,P是圆D上任意一点,把纸片折叠使得点A与P重合,然后展平纸片,折痕与直线DP相交于点Q,当点P在圆上运动时,得到点Q的轨迹.
(1)证明:点Q的轨迹是双曲线;
(2)设定点A坐标为,纸片圆的边界方程为.若点位于(1)中所描述的双曲线上,过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E,F两点,且点E,F位于y轴右侧,O为坐标原点,求面积的最小值.
(1)证明:点Q的轨迹是双曲线;
(2)设定点A坐标为,纸片圆的边界方程为.若点位于(1)中所描述的双曲线上,过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E,F两点,且点E,F位于y轴右侧,O为坐标原点,求面积的最小值.
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8 . 法国数学家费马于1640年提出了猜想:是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数,因为随着n的增大,迅速增大,所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易,一直到1732年才被数学家欧拉算出,才证明费马的猜想是错误的.若数列满足,则满足的最小正整数_________ .
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2022-12-09更新
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134次组卷
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2卷引用:福建省永泰县城关中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
9 . 阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中,证明了数学史上著名的圆柱容球定理:圆柱的内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确,即圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比,则该比值的最大值为________ .
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2021-05-30更新
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1385次组卷
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8卷引用:山东省潍坊市2021届高三三模数学试题
山东省潍坊市2021届高三三模数学试题福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题(已下线)7.7 空间几何体的外接球(精练)-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习(新高考地区专用)(已下线)第29讲 外接球与内切球问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练(已下线)专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(已下线)重难点09五种空间向量与立体几何数学思想-1(已下线)专题8-1 立体几何中外接球内切球问题-2重庆市北碚区2023届高三上学期10月月度质量检测数学试题
10 . 已知集合并且.定义(例如).
(1)若集合,集合A的子集N满足:,且,求出一个符合条件的N;
(2)对于任意给定的常数C以及给定的集合,求证:存在集合,使得,且;
(3)若集合满足:,其中实数a,b为给定的常数,求的取值范围.
(1)若集合,集合A的子集N满足:,且,求出一个符合条件的N;
(2)对于任意给定的常数C以及给定的集合,求证:存在集合,使得,且;
(3)若集合满足:,其中实数a,b为给定的常数,求的取值范围.
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