名校
1 . 已知函数
，
其中
为常数.
(1)过原点作
图象的切线
，求直线的方程；
(2)若
，使
成立，求的最小值.
，其中为常数.(1)过原点作
图象的切线，求直线的方程；(2)若
，使成立，求的最小值.
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2 . 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数
，若对在定义域内的给定常数，存在数列
满足
在的定义域内且
，且对
在区间
的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于
和
的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数
，证明：
都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数
，数列为函数
的“1关联切线伴随数列”，且
，求的通项公式；
(3)若函数
，数列
为函数
的“
关联切线伴随数列”，记数列的前
项和为
，证明：当
时，
.
，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数
，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数
，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数
，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
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名校
3 . 已知
，
．
(1)当
时，求的图像在
处的切线方程；
(2)若当
时，
，求a的取值范围．
，．(1)当
时，求的图像在处的切线方程；(2)若当
时，，求a的取值范围．
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4 . 已知函数
，且
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性．
，且．(1)求曲线
在点处的切线方程．(2)讨论函数
的单调性．
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名校
5 . 已知函数
．
(1)当
时，以点
为切点作曲线的切线，求切线方程；
(2)证明：函数有3个零点；
(3)若在区间
上有最小值，求的取值范围．
．(1)当
时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；(2)证明：函数
有3个零点；(3)若
在区间上有最小值，求的取值范围．
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2024·上海黄浦·二模
6 . 若函数
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数
与
的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数
有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设
，
的零点为
，
，求证：“存在
，使得点
与
是函数
的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“
是数列
中的项”.
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数
与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若
，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设
，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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名校
7 . 已知函数
的图象在点处的切线经过点
．
(1)当
时，求的方程．
(2)证明：数列
是等差数列．
(3)求数列
的前项和
．
的图象在点处的切线经过点．(1)当
时，求的方程．(2)证明：数列
是等差数列．(3)求数列
的前项和．
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2024·湖南·一模
名校
解题方法
8 . 已知函数
．
(1)当时，求函数在
处的切线方程；
(2)
时；
（ⅰ）若
，求的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
．(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)
时；（ⅰ）若
，求的取值范围；（ⅱ）证明：
．
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9 . 已知函数
．
(1)当时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
．(1)当
时，求曲线在处的切线方程；(2)求
的单调区间．
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2024-05-02更新
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919次组卷
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2卷引用：广东省深圳市新安中学(集团)燕川中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
10 . 已知函数
，
是的导函数，且
．
(1)若曲线在
处的切线为
，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：
．
，是的导函数，且．(1)若曲线
在处的切线为，求k，b的值；(2)在（1）的条件下，证明：
．
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