1 . 已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

2 . 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．

3 . 已知函数，则的最小值是_____________．

4 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.

5 . 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．

6 . 已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______．

7 . 已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.

8 . 已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______．

9 . 已知函数，其中为自然对数的底数，.
(1)当时，函数有极小值，求；
(2)证明：恒成立；
(3)证明：.

10 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.