解题方法
1 . “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为
．设点
，
，
，规定
，且对于运算“
”，
表示坐标为
的点．若点U，V，W满足
，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数
和
，使得对于
图像上任意一点T，
均在
图像上，则称为的镜像函数．
(1)若点
，
，且N~M，求
的坐标；
(2)证明：若
为
的镜像函数，
，则
；
(3)已知函数
，
为
的镜像函数．设R~S，且
．证明：
．
．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．(1)若点
，，且N~M，求的坐标；(2)证明：若
为的镜像函数，，则；(3)已知函数
，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．
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2 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和
，使得
成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．
(1)证明：当
时，函数
是“跃然”函数；
(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．(1)证明：当
时，函数是“跃然”函数；(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
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解题方法
3 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：是增函数.
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
(3)证明：
（
，
）.
.(1)当
时，证明：是增函数.(2)若
恒成立，求的取值范围.(3)证明：
（，）.
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解题方法
4 . 定义：函数
满足对于任意不同的
，都有
，则称为
上的“
类函数”．
(1)若
，判断是否为
上的“2类函数”；
(2)若
为
上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为
上的“2类函数”，且
，证明：
，
，
．
满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．(1)若
，判断是否为上的“2类函数”；(2)若
为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；(3)若
为上的“2类函数”，且，证明：，，．
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5 . 设函数
，则下列结论正确的是（ ）
，则下列结论正确的是（ ）| A．在单调递增 |
B． 为奇数时，在 有一个极值点 |
C．为偶数时，在 单调递增 |
D．为偶数时， 的最小值为0 |
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解题方法
6 . 已知一菱形的边长为2，且较小内角等于
，以菱形的对角线所在直线为对称轴的椭圆C外接于该菱形.
(1)建立恰当的平面直角坐标系，求椭圆
的方程；
(2)已知椭圆所在平面上的点
到椭圆的长轴､短轴的距离依次是
，点
在椭圆上，直线
与椭圆的长轴所在直线的两个夹角相等.求直线
与菱形对角线的夹角的正切值；
(3)在（2）的条件下求
面积的最大值.
，以菱形的对角线所在直线为对称轴的椭圆C外接于该菱形.(1)建立恰当的平面直角坐标系，求椭圆
的方程；(2)已知椭圆
所在平面上的点到椭圆的长轴､短轴的距离依次是，点在椭圆上，直线与椭圆的长轴所在直线的两个夹角相等.求直线与菱形对角线的夹角的正切值；(3)在（2）的条件下求
面积的最大值.
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7 . 定义：设
和
均为定义在
上的函数，其导函数分别为
，
，若不等式
对任意
恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．
(1)若
和
是“友好函数”，求的取值范围；
(2)给出两组函数：①
，
；②
，
，分别判断这两组函数是否为
上的“友好函数”．
和均为定义在上的函数，其导函数分别为，，若不等式对任意恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．(1)若
和是“友好函数”，求的取值范围；(2)给出两组函数：①
，；②，，分别判断这两组函数是否为上的“友好函数”．
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名校
解题方法
8 . 若函数
在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称为上的“
类函数”.
(1)若
，判断是否为
上的“2类函数”；
(2)若
，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.(1)若
，判断是否为上的“2类函数”；(2)若
，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
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9 . 已知函数
.
(1)求函数的单调性；
(2)若
有两个不相等的零点
，且
.
①证明：
随的增大而减小；
②证明：
.
.(1)求函数
的单调性；(2)若
有两个不相等的零点，且.①证明：
随的增大而减小；②证明：
.
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10 . 已知函数
，给出下列四个结论：
①当
时，对任意
，有1个极值点；
②当
时，存在，使得存在极值点；
③当
时，对任意
，有一个零点；
④当
时，存在，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是______ .
，给出下列四个结论：①当
时，对任意，有1个极值点；②当
时，存在，使得存在极值点；③当
时，对任意，有一个零点；④当
时，存在，使得有3个零点.其中所有正确结论的序号是
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