1 . 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.
(1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.

2 . 设数列满足，，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.

3 . 已知数列满足，，数列前n项和．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求、的通项公式；
(3)设，求的最大值．

4 . 已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的值.

5 . 已知单调递增数列满足，.
(1)证明:是等差数列；
(2)从①；②这两个条件中任选一个，求的前项和.
注:如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.

6 . 数列中，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，都有恒成立，求的取值范围.

7 . 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
(1)已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
(2)若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
(3)记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.

8 . 已知数列满足.
(1)证明：为等差数列.
(2)记为数列的前项和，求.

9 . 在数列中，．
(1)求证是等差数列．
(2)令为数列的前项和，求．

10 . 若数列的前n项和满足．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．