1 . 已知数列满足，其中.
(1)若，求数列的前n项的和；
(2)若，且数列满足：，证明：.
(3)当，时，令，判断对任意，，是否为正整数，请说明理由.

3 . 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且，
(1)求的通项公式．
(2)已知，求数列的前项和．
(3)求证：．

4 . 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．

(1)求数列与的通项公式；
(2)数列的前项和分别为；

（ⅰ）证明；

（ⅱ）求．

5 . 已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．

6 . 设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求值；
(3)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
求.

7 . 已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式以及；
(2)若等比数列满足，且，
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，，是与的等比中项且，则对任意，求的最小值．

8 . 已知数列是等差数列，其前项和为；数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的能项和；
(3)若，，求．

9 . 已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)记的前项和为，求的前项和；
(3)对任意的正整数，求数列的前项和．

10 . 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求，其中；
(3)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前项和.