1 . 设椭圆的离心率为，点在椭圆上.椭圆的左、右焦点分别为，，过点作两条不重合的直线，分别与椭圆交于点，，，，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率为，直线的斜率为，请问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相切于点，与抛物线的准线相交于点，若点为平面内一点，且，求点的坐标．

3 . 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是坐标原点，，两点（异于点）是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值．

4 . 已知椭圆过点，且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，交椭圆于点，连接，与，轴分别交于点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.

5 . 已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.
（1）求的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.

6 . 已知椭圆过点，且左、右顶点分别为，左焦点为，上、下两个顶点分别为为坐标原点，与面积的比值为．
（1）求的标准方程；
（2）过且斜率为的直线与椭圆交于两点，点在轴上，且满足，已知，求与面积比值的最小值．

7 . 已知椭圆：恰好经过，，，四点中的三个．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为坐标原点，直线：与椭圆交于、两点，直线，的斜率分别为，，且为，的等比中项，求面积的最大值．

8 . 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.

9 . 已知椭圆：的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等)，满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.