1 . 已知椭圆的长轴长为4，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，直线与弦交于点，求证：．

2 . 已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于轴对称.

3 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，，P为上一点，且，．
(1)求的标准方程；
(2)已知抛物线：，直线l与交于M，N两点，与交于T、Q两点（均不与坐标原点O重合），且，求面积的取值范围．

4 . 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足.
(1)证明：点在椭圆上；
(2)若直线与椭圆有两个不同的交点P､Q，O是坐标原点，求面积的最大值.

5 . 已知椭圆的离心率，过点的直线l与C交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，．
(1)求C的方程．
(2)试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，且椭圆过椭圆的焦点．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在斜率不为0的直线l，使得，求t的取值范围．

7 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的短轴长为，点是椭圆上异于长轴端点的动点，且当的面积取得最大值时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与分别交椭圆于点，（均异于点），求的值．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.

(1)求椭圆及抛物线的标准方程；
(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

9 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于点，（异于，），直线与直线交于点，直线，的斜率分别为，，证明：是定值，并求出该定值．

10 . 已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．