1 . 已知点在双曲线上
(1)求双曲线的方程
(2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值
(3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率

2 . 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线交双曲线同一支于两点，设中点为，求面积的取值范围．

3 . 已知双曲线过点且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点，求直线l斜率的取值范围．
(3)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．

4 . 已知双曲线的左､右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：.

6 . 如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

   

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.

8 . 已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

9 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值．

10 . 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．