1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

2 . 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点.
(1)求椭圆方程；
(2)若，求证：；
(3)过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值.

3 . 如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当、、成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点，且、、的公比为.
   
(1)求猫眼曲线的方程；
(2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，直线、直线的斜率分别为、，试问：是否为与无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由；
(3)若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，，为椭圆上的任意一点（点与点，不重合），求面积的最大值.

4 . 已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.

(1)求的周长；
(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；
(3)设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆：，、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形.
(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点满足：，.求证：与面积之比为定值.

9 . 已知椭圆方程，直线与椭圆相交于两点，O为坐标原点，是否存在实数k满足，若不存在说明理由，若存在求出实数k的值．

10 . 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，且椭圆上一点P，满足．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，若椭圆C上存在点Q，使得四边形是平行四边形（其中O为坐标原点，点P在第一象限），求直线与的斜率之积：
（3）记圆为椭圆C的“关联圆”．过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线的横、纵截距分别为m、n，求证：为定值．