1 . 已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.
(1)设的斜率分别为，求证：为定值；
(2)判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

2 . 已知双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．
       
(1)求k的取值范围；
(2)记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么是定值吗？证明你的结论．

3 . 已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.
   
(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.

4 . 已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.

5 . 已知双曲线的左顶点为，渐近线方程为.直线交于两点，直线的斜率之和为-2.
(1)证明：直线过定点；
(2)若在射线上的点满足，求直线的斜率的最大值.

6 . 已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．

8 . 已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．

9 . 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线的斜率之积为定值；
(3)求的取值范围.

10 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点
(1)求双曲线的离心率及方程；
(2)已知点，点，过点的直线与双曲线交于两点，是否为常数？若为常数，求出此常数及的值；若不为常数，请说明理由.