1 . 已知椭圆的长轴长为4，且经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆交于，两点（异于点，过点作的角平分线交椭圆于另一点．证明：直线与坐标轴平行．

2 . 椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线为抛物线的准线，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上的任一点（不在轴上），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，求证：三点共线．

3 . 设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，右焦点为，已知．
（1）证明：．
（2）已知直线的倾斜角为，设为椭圆上不同于，的一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交于点，过且垂直于的直线交轴于点，若，求直线的方程．

4 . 已知离心率为的椭圆经过抛物线的焦点，斜率为1的直线经过且与椭圆交于两点.
（1）求面积；
（2）动直线与椭圆有且仅有一个交点，且与直线分别交于两点，为椭圆的右焦点，证明为定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为，又已知直线和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）若直线不经过，且与椭圆相交于，，直线，的斜率分别为，.求证：是定值.

6 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，C上的动点Q到的最大距离为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，若MN的中点为P，求证：.

7 . 已知椭圆的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点.
（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d₁，d₂，且，求l的方程；
（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点.

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），且直线，，的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值．

9 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，上的点到右焦点的最大距离是3.
（1）求的标准方程；
（2）设的左、右顶点分别为，，过，分别作轴的垂线，，直线：与相切，且与，分别交于，两点，求证：.

10 . 已知椭圆：，过椭圆上一点作椭圆的切线，为坐标原点．
（1）当直线与坐标轴不垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
（2）设直线与椭圆：相交于，两点，求的取值范围．