1 . 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为__________；弦长__________.

2 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求：

①直线的方程；

②的面积.

3 . 已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．

4 . 已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．

5 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．

6 . 已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．

7 . 在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．

8 . 如图，已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程及的面积.

9 . 已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．
(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．
(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．

10 . 已知椭圆与直线交于两点，且当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上､下顶点分别为，若点在直线上，证明：点在直线上.