解题方法
1 . 数学家棣莫弗发现，如果随机变量
服从二项分布
，那么当
比较大时，近似服从正态分布
，其密度函数为
.任意正态分布
，可通过变换
转化为标准正态分布
.当时，对任意实数
，记
，则（ ）
服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）A． |
B．当 时， |
C．随机变量，当 减小， 增大时，概率 保持不变 |
D．随机变量，当 都增大时，概率增大 |
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名校
2 . 某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布
，若
的学生人为18，则
（ ）
服从正态分布，若的学生人为18，则（ ）| A．0.2 | B．0.25 | C．0.3 | D．0.35 |
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2024-01-18更新
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530次组卷
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2卷引用：河南省南阳市六校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题
名校
3 . 某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布
，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：
）
| 旅游消费支出 |  |  |  |  |  |
| 频数 | 12 | 388 | 452 | 138 | 10 |
，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：
）
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名校
4 . 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量
，当充分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了
时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数
都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则
，
，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）（附：若
，则，| A．0.99865 | B．0.97725 | C．0.84135 | D．0.65865 |
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2024-01-08更新
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1096次组卷
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8卷引用：河北省保定市唐县第一中学2024届高三上学期期末数学试题
河北省保定市唐县第一中学2024届高三上学期期末数学试题（已下线）压轴题概率与统计新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）思想02 运用数形结合的思想方法解题（4大题型）（练习）（已下线）专题20 概率与统计常考小题归类（15大题型）（练习）（已下线）第10讲 第七章随机变量及其分布章节验收测评卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第09讲 第七章随机变量及其分布章末题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）8.3 正态分布（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题
解题方法
5 . 某厂生产的3D NAND闪存的质量指标值服从正态分布
，该指标值大于82的等级为优质，则该厂生产的3D NAND闪存的优质率为________ .（参考数据：
，
，
）
，该指标值大于82的等级为优质，则该厂生产的3D NAND闪存的优质率为，，）
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名校
6 . 某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩
.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为
.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望
.
参考数据：若
，则
，
.(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为
.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若
，则，
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2023-12-28更新
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1649次组卷
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5卷引用：江苏省南通市海安高级中学2024届高三上学期12月月考数学试题
江苏省南通市海安高级中学2024届高三上学期12月月考数学试题7.5正态分布练习（已下线）考点14 正态分布 2024届高考数学考点总动员【练】江苏省镇江市丹阳高级中学2024届高三下学期2月阶段检测数学试题（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）
7 . 攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：
）在正常环境下服从正态分布
．
(1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于
的概率；
(2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：
关于的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：
；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近．对投资金额做交换，令
，且有
，
，
，
．
（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
附：若随机变量
，则
，
；
样本
（
）的最小二乘估计公式为
，
；
相关指数
．
参考数据：
，
，
，
．
）在正常环境下服从正态分布．(1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于
的概率；(2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：
关于的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得
与的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，．（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中
关于的回归方程；（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 102.28 | 36.19 |
，则，；样本
（）的最小二乘估计公式为，；相关指数
．参考数据：
，，，．
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名校
解题方法
8 . 近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（满分100分），将他们的成绩分成以下6组：
，
，
，…，
，统计结果如下面的频数分布表所示.
(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.
(2)高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数
，近似为样本的标准差s，并已求得
，且这次测试恰有2万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间
内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在
内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多?请根据数据计算说明.
参考数据：则
，
.
，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示.组别 | |
|
|
|
|
|
频数 | 20 | 30 | 40 | 60 | 30 | 20 |
(2)高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布
，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，且这次测试恰有2万名学生参加.（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间
内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在
内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多?请根据数据计算说明.参考数据：则
，.
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名校
9 . 冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数
的图象如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且
，
，
.关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（ ）
的图象如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，.关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（ ）
| A．4班的平均分比5班的平均分高 |
| B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散 |
| C．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55% |
| D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等 |
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名校
解题方法
10 . 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数
，
.任意正态分布
，可通过变换转化为标准正态分布（
且
）.当时，对任意实数x，记
，则（ ）
，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）A． |
B．当时， |
C．随机变量，当减小，增大时，概率 保持不变 |
| D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 |
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2023-12-19更新
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1359次组卷
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13卷引用：江苏省苏州大学2022届高三下学期5月高考前指导数学试题
江苏省苏州大学2022届高三下学期5月高考前指导数学试题江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高二下学期第二次质量调研数学试题江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题（已下线）考向43二项分布、正太分布及其应用（重点）-2（已下线）7.5 正态分布 (精讲）（1）（已下线）7.5 正态分布（1）福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题江苏省苏州市部分高中2024届高三上学期12月联考数学试题（已下线）考点14 正态分布 2024届高考数学考点总动员江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024届高三上学期期末模拟数学试题（一）福建省泉州市实验中学2024届高三上学期1月考试数学试题浙江省湖州市湖州中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题（已下线）第08讲 7.5 正态分布（1）
