【推荐1】已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．

【推荐2】设椭圆的焦距为2，点在椭圆上，左右顶点为，左右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求椭圆上的点到直线的最大距离；
（3）如图，过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一交点为，直线与直线交于点，若，求的值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于不同两点（都不同于点），且直线，的斜率之积等于1．试问直线是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆经过点，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过原点O的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点.求四边形ACBD的面积的最小值.

【推荐2】已知椭圆的四个顶点依次连接可得到一个边长为，面积为的菱形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与圆相切，且交椭圆于两点，，当取得最大值时，求的值．

【推荐3】如图，设F是椭圆C：（）的左焦点，直线：与x轴交于P点，为椭圆的长轴，已知，且，过点P作斜率为直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N.

（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：.

【推荐1】已知O为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，A为椭圆C的上顶点，为等腰直角三角形，其面积为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于P，Q两点，点W在过原点且与l平行的直线上，记直线WP，WQ的斜率分别为，，的面积为S．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．
①；②；③W为原点O．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【推荐2】已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设椭圆以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点，直线交于两点（均不在坐标轴上），若的面积为，求的值.

【推荐3】已知直线与椭圆相交于，两点．   
（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的方程；
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为，求线段的长及的面积．

【推荐1】已知定圆和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.
（1）讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：
①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.
（2）若定点A(5，0)，试求△QMA的面积的最大值.

【推荐2】已知点是已知椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的取值范围.

【推荐3】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为．

(1)求C的方程；
(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．