【推荐1】如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁，ABB₁A₁均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点D是棱的A₁C₁中点.

(1)求证：平面AB₁D⊥平面ACC₁A₁；
(2)求证：BC₁∥平面AB₁D；
(3)求点A₁到平面AB₁D的距离.

【推荐2】在四棱台底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点.

(1)求证：OE//平面；
(2)求直线AE与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点，Q是线段PC上的任意一点．求证：

(1)平面BDE；
(2)

【推荐1】被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.

（1）求该方灯体的体积；
（2）求直线和的所成角；
（3）求直线和平面的所成角．

【推荐2】在如图所示的六面体中，底面ABCD是矩形，平面ABEF是以EF为直角腰的直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF，．

（1）求证：AC // 平面DEF；
（2）求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．

【推荐3】四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=" AB" =1，AD =2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．

（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC;
（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM；
（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45．

【推荐1】如图，四棱锥的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为.
   
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)Q为l上的一点，当时求三棱锥的体积；

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，设过AD的平面与棱PB，PC分别交于点E，F．

(1)求证：四边形AEFD为梯形；
(2)若E为PB的中点，求平面ADE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．

【推荐3】如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，，PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点．

(1)若时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；
(2)若平面PBC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值．