【推荐1】已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．

【推荐2】已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共
线，且，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为椭圆上三个点，为坐标原点，若四边形为矩形，求四边形的面积.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，是椭圆上位于第三象限内的一点，点满足.过点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点.

（Ⅰ）若点的坐标为
（i）求椭圆的方程；
（ii）求面积；（用含的代数式表示）
（Ⅱ）若满足，求直线，的斜率之积.

【推荐3】已知椭圆的左焦点为F，右顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F的直线交椭圆C于M，N两点，求面积的取值范围．

【推荐1】已知椭圆：和圆：，，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直线：与轴交于点，且与椭圆和圆都相切，切点分别为，，记和的积分别为和，求的最小值.

【推荐2】如图，已知半圆C₁：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C₂：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C₁、C₂构成的曲线，记为“Γ”．

   

(1)求实数a、b的值；
(2)直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
(3)设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值．

【推荐3】已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T．
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．

【推荐1】已知定点，圆，过点的直线交圆于两点，过点作直线交直线于点，
（1）求点的轨迹方程；
（2）若是曲线上不重合的四个点，且与交于点，，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线与的斜率之积为．
①证明：直线l过定点．
②求点P到直线l距离的最大值．

【推荐3】已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．

   

(1)求椭圆C的方程；
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求面积的最大值．