【推荐1】已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．

【推荐2】已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.
(1)求C的标准方程.
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为．过点的直线TA，TB与此椭圆分别交于点，，其中，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当T在直线时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【推荐1】已知直线与椭圆交于、两点，且在直线 的上方（如图所示）.

（1）求常数的取值范围；
（2）若的面积最大，求直线的斜率的大小．

【推荐2】已知椭圆的短轴长为，右顶点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，直线过交椭圆于，两点，问：面积是否有最大值，若没有，说明理由；若有，求出最大值.

【推荐3】已知点为圆内一点，为圆上一动点，线段的垂直平分线与半径交于点，记点轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若不经过原点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．

(1)求椭圆C的方程；
(2)直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围．

【推荐2】如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.

(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．

   

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长最大值为8．
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线与的斜率之积为（O为坐标原点），D为射线上一点，且，线段与椭圆C交于点E，，求四边形的面积．

【推荐2】已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．

【推荐3】已知曲线的方程为．
（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；
（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？
（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．