【推荐1】已知函数.
（1）证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【推荐2】设函数.
（1）讨论单调性；
（2）若；对于任意的，使得恒成立，求的取值范围.

【推荐3】已知函数在点的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，求证：在上恒成立．

【推荐1】已知函数.
(1)若函数在取极大值，求实数的值；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）当时，证明：.

【推荐2】材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，根据以上材料：
(1)直接写出初等函数极值点
(2)对于初等函数，有且仅有两个不相等实数满足：.
（i）求的取值范围.
（ii）求证：
（注：题中为自然对数的底数，即）

【推荐3】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数存在唯一的极大值点.