【推荐1】如图，底面是边长为4的正方形，半圆面底面．点为半圆弧(不含，)上一动点．

(1)求证：；
(2)当点为弧中点时，求二面角的正切值．

【推荐2】如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

【推荐3】如图，在四棱柱中，已知平面平面，且，．

（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求证：平面．

【推荐1】在空间直角坐标系中，已知四点、、，点M是直线OC上的动点，当取得最小值时，求点M的坐标．

【推荐2】类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.

   

(1)已知直线过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(2)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.

【推荐3】已知空间三点，三点的坐标分别是．
(1)求与共线的单位向量．
(2)若，且四点共面，求，并求此时点P到直线的距离．

【推荐1】在直四棱柱中，已知，，，为上一点，且．

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值．

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.
   
(1)求证：直线平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，在三棱台中，底面是边长为的正三角形，，，，面面，面面.

（1）证明：面；
（2）求与面所成角的余弦值.