如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，侧面
面，
，
，
为
的中点.
(1)求证：面
面
；
(2)若二面角
的大小为
，求
与面
所成角的正弦值；
(3)若平面与平面
所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积.
中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.(1)求证：面
面；(2)若二面角
的大小为，求与面所成角的正弦值；(3)若平面
与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积.
更新时间：2023-11-16 13:35:13
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解题方法
【推荐1】在菱形中，已知
，
.是对角线
上一点，沿把菱形折成二面角
，将折成二面角后的
点记作
，设
，点在平面
上的射影记为
.
(1)当是的中点时，如图1，求证
平面
；
(2)当落在菱形的边
上时，如图2，求二面角的取值范围；
(3)设折痕与菱形的边
交于点
，求四棱锥
体积的最大值（说明：可以用到必修一探究实践活动中得到的不等式
）.
中，已知，.是对角线上一点，沿把菱形折成二面角，将折成二面角后的点记作，设，点在平面上的射影记为. (1)当
是的中点时，如图1，求证平面；(2)当
落在菱形的边上时，如图2，求二面角的取值范围；(3)设折痕
与菱形的边交于点，求四棱锥体积的最大值（说明：可以用到必修一探究实践活动中得到的不等式）.
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【推荐2】如图，
是底面边长为1的正三棱锥，
分别为棱长
上的点，截面
底面
，且棱台
与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：为正四面体；
（2）若
，求二面角
的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台的体积为
，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.
（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥的体积减去棱锥
的体积.）
是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱长上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：
为正四面体；（2）若
，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台
的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥
的体积减去棱锥的体积.）
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的正方形，
平面
平面
平面
；
上是否存在一点
，使平面
将几何体
分成上下两部分的体积比为
？若存在，求出点
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【推荐1】如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S—
CD—A的平面角为
，M为AB中点，N为SC中点.
（1）证明：MN//平面SAD；
（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；
（3）若
，求实数
的值，使得直线SM与平面SCD所成角为
CD—A的平面角为
，M为AB中点，N为SC中点.（1）证明：MN//平面SAD；
（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；
（3）若
，求实数的值，使得直线SM与平面SCD所成角为
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【推荐2】如图，四棱锥中，
平面，
，
．过点
作直线
的平行线交于
为线段上一点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．(1)求证：平面
平面；(2)求平面
与平面所成二面角的余弦值．
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，
，E为线段
将
折成
，使得平面
平面
平面
；
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
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【推荐1】如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为
，
是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆
，点是
中点，
.
平面；
(2)若点
为线段
上的动点，求直线
与平面所成角的余弦值的最小值.
，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.
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为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.
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【推荐2】如图，在四棱锥中，已知
底面ABCD，
，异面直线PA和CD所成角等于．
(2)在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE夹角的正切值为
？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．
中，已知底面ABCD，，异面直线PA和CD所成角等于．
(2)在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE夹角的正切值为
？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．
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【推荐3】如图，是半球
的直径，
，
是底面半圆弧
上的两个三等分点，是半球面上一点，且
.
的面积；
(2)证明：平面
；
(3)若点在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面所成角的正弦值.
是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.
的面积；(2)证明：
平面；(3)若点
在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.
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解题方法
【推荐1】如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面，
，
，
.
（1）若
，E为
的中点，求异面直线
与
所成角的大小；
（2）若，求二面角
的大小；
（3）试求四棱锥的体积的取值范围.
中，底面是菱形，平面，，，.（1）若
，E为的中点，求异面直线与所成角的大小；（2）若
，求二面角的大小；（3）试求四棱锥
的体积的取值范围.
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【推荐2】《瀑布》（图1）是埃舍尔最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻.画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为
，将极点
，分别与正方形
的顶点连线，取其中点记为
，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥
与
.
(1)求异面直线
与
成角余弦值
(2)求平面
与平面
的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与.(1)求异面直线
与成角余弦值(2)求平面
与平面的夹角余弦值(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）
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，
．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD， 
时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为
？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.
