【推荐1】某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．

【推荐2】过点作直线交轴于点，交轴于点，且点在与之间
（1）当时，求直线的方程；
（2）当取得最小值时，求直线的方程

【推荐3】某县经济开发区一电子厂生产一种学习机，该厂拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该学习机的年销售量(即该厂的年产量)万台与年促销费用万元()满足 (为常数),如果不搞促销活动,则该学习机的年销售量只能是万台.已知2020年生产该学习机的固定投入为万元.每生产万台该产品需要再投入万元,厂家将每台学习机的销售价格定为每台产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

【推荐1】古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.

【推荐2】如图，已知椭圆：，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

【推荐3】已知椭圆C的两个焦点为F₁(－1,0)，F₂(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的短半轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点作直线交椭圆C于，两点，若，求直线的方程.

【推荐2】如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及A点坐标；
（Ⅱ）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，过点且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

【推荐2】已知椭圆C:1(a>b>0)的左､右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，A为椭圆C上一点，且AF₂⊥F₁F₂，且|AF₂|.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左､右顶点为A₁，A₂，过A₁，A₂分别作x轴的垂线 l₁，l₂，椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k≠0)与l₁，l₂交于M，N两点，试探究•是否为定值，并说明理由.

【推荐3】已知长度为3的线段的两个端点分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于E，F两点，O为坐标原点，若，求最大值，及取最大值时直线l的方程.