对于数列
，若存在正数k，使得对任意
，
，都满足
，则称数列符合“
条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“
条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“
条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为
，证明：存在正数
，使得数列
符合“
条件”
，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．(1)试判断公差为2的等差数列
是否符合“条件”？(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列
符合“条件”．①求q的取值范围；
②记数列
的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
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更新时间：2024-03-25 20:56:12
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】设
为正整数，各项均为正整数的数列
定义如下： 
，
（1）若
，写出
，
，
；
（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；
（3）若为奇数，是否存在
满足
？请说明理由．
为正整数，各项均为正整数的数列定义如下： ， （1）若
，写出，，；（2）求证：数列
单调递增的充要条件是为偶数； （3）若
为奇数，是否存在满足？请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】对于项数为的有穷数列，设
为
中的最大值，称数列
是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；
(2)设是的控制数列，满足
（
为常数，
）.证明：
.
(3)考虑正整数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.(1)若各项均为正整数的数列
的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；(2)设
是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.(3)考虑正整数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
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项
中的最大项为
，该数列后
项
，
， …..，
，
.
，
，
；
，有
，其中
且
，
，判断数列
满足：
对任意的正整数
恒成立，求
解答题-问答题
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较难
(0.4)
真题
【推荐1】设数列
满足，
，
．数列
满足
是非零整数，且对任意的正整数和自然数
，都有
．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记
，求数列
的前
项和．
满足，，．数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有．（1）求数列
和的通项公式；（2）记
，求数列的前项和．
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(0.4)
名校
【推荐2】（1）若对任意的
，总有
成立，求常数
的值；
（2）在数列中，
，求通项
；
（3）在（2）的条件下，设
，从数列中依次取出第
项，第
项，
第
项，按原来的顺序组成新数列，其中
试问是否存在正整数
，使得
且
成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
，总有成立，求常数的值；（2）在数列
中，，求通项；（3）在（2）的条件下，设
，从数列中依次取出第项，第项，第项，按原来的顺序组成新数列，其中试问是否存在正整数，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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【推荐3】2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答次
，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为
，能正确回答挑战类问题的概率为
，且每次回答问题是相互独立的.
(1)记小明前2题累计得分为
，求的概率分布列和数学期望；
(2)记第题小明回答正确的概率为
，证明：当
时，
，并求
的通项公式.
次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的.(1)记小明前2题累计得分为
，求的概率分布列和数学期望；(2)记第
题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式.
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【推荐1】已知正项数列
满足：
.
(1)设
，试证明
为等比数列；
(2)设
，试证明
；
(3)设
，是否存在使得
为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
满足：.(1)设
，试证明为等比数列；(2)设
，试证明；(3)设
，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
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(0.4)
解题方法
【推荐2】已知数列中，，且
．
(1)求
，
的值及数列的通项公式；
(2)令
，设数列
的前项和为，求并比较
与的大小．
中，，且．(1)求
，的值及数列的通项公式；(2)令
，设数列的前项和为，求并比较与的大小．
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的各项均为整数，满足：
，且
，其中
．
，写出所有满足条件的数列
；
的值；
．
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名校
解题方法
【推荐1】若
，都存在唯一的实数
，使得
，则称函数
存在“源数列”.已知
.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若
恒成立，求
的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和
.
，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：
存在源数列；(2)（ⅰ）若
恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记
的源数列为，证明：前项和.
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】集合
，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即
，
，数列的前n项和为．
(1)求，
，
；
(2)判断672，2024是否是中的项；
(3)求
，
．
，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为．(1)求
，，；(2)判断672，2024是否是
中的项；(3)求
，．
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对任意正整数
总成立，则称数列
数列”．
数列”；
数列”，又是“
