【推荐1】如图，在椭圆中，过坐标原点作两条互相垂直的射线与分别交于两点.

(1)已知直线的斜率为，用表示线段的长度；
(2)过点作于点，点为椭圆上一动点，求线段长度的取值范围.

【推荐2】已知的顶点，点在轴上移动，，且的中点在轴上．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知过的直线交轨迹于不同两点，，求证：与，两点连线，的斜率之积为定值．

【推荐3】已知点是圆上一动点，作轴，垂足为，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点斜率为的直线交曲线于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

【推荐1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．

【推荐2】已知点P为椭圆上一个动点，A、F分别为C的左顶点、左焦点．
(1)证明：；
(2)设斜率分别为，的两条直线，均经过点A，且直线，与C分别交于E，G两点（E，G异于点A），若，试判断直线EG是否经过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.
（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.

【推荐1】如图，设椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且.

（1）若过，，三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆：.
（1）曲线：与相交于，两点，为上异于，的点，若直线的斜率为1，求直线的斜率；
（2）若的左焦点为，右顶点为，直线：.过的直线与相交于，（在第一象限）两点，与相交于，是否存在使的面积等于的面积与的面积之和.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆过点，且离心率为．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．

【推荐1】已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；
（2）设点，点在轴上，过点的直线交椭圆交于，两点．
①若直线的斜率为，且，求点的坐标；
②设直线，，的斜率分别为，，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x₀，y₀）的“伴随点”为．
（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；
（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．