【推荐1】如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，．
（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．
（Ⅱ）设点为棱的中点，，求四棱锥体积的最大值．

【推荐2】直三棱柱中，，四边形是边长为2的正方形，为侧棱的中点.
（1）若，求几何体的体积；
（2）若平面平面，求的长.

【推荐3】如图，圆台的轴截面为四边形，其中，P为圆上异于，的点，M为PB的中点．

(1)证明：平面．
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，平面平面，求二面角的余弦值．

【推荐1】如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，平面底面，，M为上一点，平面.

（1）求的值；
（2）求四棱锥外接球的半径.

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面平面ABCD，，，点M为棱PC中点，平面ABM与棱PD交于点N．

(1)求证：N是棱PD的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（i）二面角的余弦值；
（ii）在棱PA上是否存在点Q，使得平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【推荐3】如图，三棱锥中，平面，，，点，分别为，的中点.

(1)求证：平面；
(2)是线段上的点，且平面.
①确定点的位置；
②求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐1】如图，在三棱柱中，已知是直角三角形，侧面是矩形，AB＝BC＝1，BB₁＝2，．

（1）证明：BC₁⊥AC．
（2）E是棱CC₁的中点，求直线B₁C与平面ABE所成角的正弦值．

【推荐2】设矩形中，，点，分别是，的中点，如图1.现沿将折起，使点至点的位置，且，如图2.
          
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面为正三角形，且平面平面．

(1)求证：．
(2)若为中点，试在上找一点，使平面平面．