【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若M为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过作直线与椭圆C交于两点，且椭圆C上存在点，满足，求直线的方程．

【推荐2】设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线（）与相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，求四边形面积的最大值．

【推荐3】椭圆，过原点的直线交于两点，直线的斜率为，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，求连线与轴所成锐角的正切值．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与相切.
（1）求与；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交于 点.求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并说明曲线类型.

【推荐2】椭圆M：的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．

（1）求椭圆M的方程；
（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求的取值范围；
②当与相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【推荐3】（原创题）已知点是椭圆和抛物线 的公共焦点， 是椭圆的长轴的两个端点，点是与 在第二象限的交点，且.
(I) 求椭圆 的方程；
(II) 点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.直线交椭圆        于两点，设△的面积为，△的面积为，求的最大值.

【推荐1】如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于，两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若点，求直线的方程，并证明点平分线段．

【推荐2】已知椭圆的一个顶点为,且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A,B两点,点M在椭圆上,且满求k的值.

【推荐3】的两个顶点坐标分别是和，顶点满足.
（1）求顶点的轨迹方程；
（2）若点在(1)轨迹上，求的最值.

【推荐1】已知曲线上任意一点满足，其中
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，是否存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于A,B，过与垂直的直线与椭圆交于，，与交于，求证：直线，，的斜率，，成等差数列．

【推荐3】已知椭圆的左焦点为F，点，过M的直线与椭圆E交于A，B两点，线段AB中点为C，设椭圆E在A，B两点处的切线相交于点P，O为坐标原点．

（1）证明：O、C、P三点共线；
（2）已知是抛物线的弦，所在直线过该抛物线的准线与y轴的交点，是弦在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：在定直线上．你认为小明猜想合理吗？若合理，请写出所在直线方程；若不合理，请说明理由．