【推荐1】已知函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)记,是否存在正数，使得对一切均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

【推荐2】对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”.
（1）若，且数列是数列的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；
（2）设，证明：不存在等差数列，使得数列是数列的“相伴数列”；
（3）设,（其中），若是数列的“相伴数列”，试分析实数b、q的取值应满足的条件.

【推荐3】已知数列是无穷数列，.
(1)若，，写出，的值；
(2)已知数列中，求证：数列中有无穷项为；
(3)已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.

【推荐1】已知集合，其中且，，若对任意的，都有，则称集合A具有性质．
(1)集合具有性质，求m的最小值；
(2)已知A具有性质，求证：；
(3)已知A具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由．

【推荐2】现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具，，中的一个，每袋零食乙从玩具，中随机附赠一个.记事件：一次性购买袋零食甲后集齐玩具，，；事件：一次性购买袋零食乙后集齐玩具，.
（1）求概率，及；
（2）已知，其中，为常数，求.

【推荐3】已知数列中，，其前项和满足，令．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：．

【推荐1】已知数列的各项为正且满足，．
(1)证明∶．
(2)令，记数列的前n项和为，证明．

【推荐2】已知数列满足，．
(1)若，求证：对任意正整数均有；
(2)若，求证：对任意恒成立．

【推荐3】数列满足，.
(1)证明：；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.

【推荐1】已知数列的前项和为，且
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值．

【推荐2】甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）.每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第格的概率为.
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望；
(2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式.

【推荐3】设等差数列的前项和为，，，若，且，数列的前项和为，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；
（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由．