23. 背景资料:在已知
所在平面上求一点
P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.如图1,当
三个内角均小于120°时,费马点
P在
内部,当
时,则
取得最小值.
(1)如图2,等边
内有一点
P,若点
P到顶点
A、
B、
C的距离分别为3,4,5,求
的度数,为了解决本题,我们可以将
绕顶点
A旋转到
处,此时
这样就可以利用旋转变换,将三条线段
PA、
PB、
PC转化到一个三角形中,从而求出
___________.知识生成:怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢?为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点,则连线通过三角形内部的费马点,请同学们探索以下问题.
(2)如图3,
三个内角均小于120°,在
外侧作等边三角形
,连接
,求证:
过
的费马点.
(3)如图4,在
中,
,
,
,点
P为
的费马点,连接
AP、
BP、
CP,求
的值.