1 . 在平面直角坐标系中，，．

(1)若抛物线过、两点，且与轴交于点，求此抛物线的顶点坐标；
(2)如图，小敏发现所有过、两点的抛物线如果与轴负半轴交于点，为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值．

2 . 已知抛物线与直线．
(1)求证：直线与抛物线总有公共点；
(2)若直线与抛物线两交点的横坐标为，，且，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），点在抛物线上，且在直线下方，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，，求的最大值．

3 . 综合与探究
如图1，二次函数的图象与轴交于，（点在点的左侧）两点，与轴交于点．直线经过，两点，连接．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点外的点，使得？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将沿轴正方向平移得到（点A，O，C的对应点分别为，，），，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积．

4 . 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某直线经过抛物线（，，是常数，）的顶点和该抛物线与轴的交点，则把该直线称为抛物线的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：
(1)若直线是抛物线的“心心相融线”，求的值．
(2)若过原点的抛物线（，是常数，且）的“心心相融线”为，则代数式是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)当常数满足时，求抛物线（，，是常数，）的“心心相融线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．

5 . 如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过．
   
(1)求二次函数的解析式；
(2)点为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)为二次函数上一点，为轴上一点，当成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．

6 . 如图1，抛物线 与轴交于，两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第四象限内，连接，，，已知，．
   
(1)点的坐标为点          ，的为             ；
(2)求抛物线的解析式
(3)如图2，为抛物线上点与点之间一动点，且不与点，重合，点的横坐标为，连接，，当取何值时四边形的面积最大？最大面积为多少？

7 . 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

   

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．

8 . 已知直线与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线与y轴交于点B，与直线交于D且，

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当的周长最小时，求的面积；
(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接，若的面积等于3，求点P的坐标．

9 . 对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；

结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”．
尝试应用：
已知：如图2，点、、，则的水平宽为______，铅垂高为______，所以的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高______，的面积为______．

10 . 如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点．

(1)若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．