2 . （1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长        ．

（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；

（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长        ．

3 . 如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

4 . 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：
（1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

6 . 在菱形中，，，动点M在射线上运动．

(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．

7 . 自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．

   

(1)填空：___________；
(2)如图2，若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动．在转动过程中，灯射线与交于点，灯射线与交于点．在灯射线到达之前，设灯转动秒．
①当时，则___________，___________（用含的式子表示）．
②当灯转动 ___________秒时，两灯的光束可以互相平行？
(3)如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

8 . 对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．

(1)若，则的4系补周角的度数为___________
(2)在平面内，点是平面内一点，连接，．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）．

9 . 定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”， ，，与为“同源角”．

(1)如图1和为“同源三角形”， 与为“同源角”，请你判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点B，C，D在同一条直线上，且，求的值；
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点Q，P，连接，，，试说明是等腰直角三角形．