1 . 如图，某二次函数的图象是一条顶点为P(4．-4)的抛物线，它经过原点和点A，它的对称轴交线段
OA于点M．点N在对移轴上，且点M、N关于点P对称，连接AN，ON
   
（1）求此二次函数的解析式：
（2）若点A的坐标是(6，-3)．，请直接写出MN的长
（3）若点A在抛物线的对称轴右侧运动时，则∠ANM与∠ONM有什么数量关系？并证明．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值．

3 . 如图，y=ax²+bx－2的图象过A（1，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线关系式及顶点M的坐标；
（2）若N为线段BM上一点，过N作x轴的垂线，垂足为Q，当N在线段BM上运动（N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t的关系式并求出S的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件P的坐标．

4 . 如图，已知抛物线y＝ax²+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图①，直线与轴、轴分别交于两点，将沿轴正方向平移后，点、点的对应点分别为点、点，且四边形为菱形，连接，抛物线经过三点，点为上方抛物线上一动点，作，垂足为
求此抛物线的函数关系式；
求线段长度的最大值；

如图②，延长交轴于点，连接，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点二次函数的图象经过两点，且与轴的负半轴交于点．

求二次函数的解析式及点的坐标．
点是线段上的一动点，动点在直线下方的二次函数图象上．设点的横坐标为．过点作于点求线段的长关于的函数解析式，并求线段的最大值．

7 . 如图，抛物线经过，两点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）动点从点出发，沿线段向终点作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为，过点作，交于点，以为正方形的一边，向上作正方形，边交于点，延长交于点．
①当为何值时，点落在抛物线上；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时刻的值；若不存在，请说明理由．

8 . 二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为________．
   

9 . 如图1，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点的横坐标为，对称轴交轴交于点，交与点 .
   
（1）求顶点的坐标；
（2）如图2所示，过点的直线交直线于点，交抛物线于点.
①若直线将分成的两部分面积之比为，求点的坐标；
②若，求点的坐标．

10 . 如图所示，将二次函数y=x²+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax²+bx+c的图象．函数y=x²+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．
（1）求函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．