1 . 探索并解决下列问题：

(1)如图1，长方形的边，，点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动，到达点时停止运动设运动时间为．
①用含的代数式表示三角形的面积；
②当三角形的面积为时，求的值．
(2)如图2，已知长方形，以它的对角线为边作另一个长方形，其中经过点现有一点在长方形内随意运动，连接和若三角形的面积为，，那么随着点的运动，封闭图形的周长是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由．

6 . 某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．
   
(1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值
(2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值．

7 . 问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
   

9 . （1）问题提出：如图①，在矩形中，，，是上一动点，则的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．