1 . 【问题情境】
如图①，的内角，的平分线交于点D．
【建立模型】
如图①，的内角，的平分线，交于点．
【建立模型】
（1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明．
（2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）．
【类比探究】
如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明．

2 . 已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 【实践操作】
在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分．

【问题发现】
（1）若，求的度数；
（2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【变式探究】
将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

4 . 如图，在四边形中， ，．

   

(1)与平行吗？说明理由；
(2)若平分，，求的度数．

5 . 已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C．

(1)如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，则和之间的数量关系是　　．
(2)如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，，直接写出的度数．
(4)如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，当时，请补充图形并直接写出的度数．

6 . “时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度．
课题学习：
时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从到，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．故时，时针与分针所成角度是．

   

问题解决：
(1)当时，时针与分针所成角度是____________；
(2)如图1，盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分；
(3)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有____________个美妙时刻．

7 . 如图，矩形中，点在边上，且，平分．作于点，连接，，的延长线交于点，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则．正确的有__________．（填写序号）

   

8 . 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为______．

9 . 如图1，，点C、B分别在直线上，点A为直线 之间的一动点．

   

【建立模型】
请直接写出之间的数量关系      ．
【应用模型】
（1）提出问题：
如图2，，点E在上，，判断和相等吗？请说明理由．
（2）解决问题：
请把下面的解题过程补充完整．
延长与相交于点K
因为（已知）
所以（          ）
又因为（已知）
所以（          ）
所以     （          ）
由第一问得知：     
因为（已知）
即
所以
【拓展提升】
如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为      度．

10 . 如图，已知，直线分别与，相交于，两点，的平分线交于点．如果，则等于______．