1 . 如图，在中，，点P是上的任意一点，作于点D，于点E，连接，则的最小值为______．

2 . 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______.

3 . 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．

4 . 如图，正方形的边长为12，为边上一动点，在运动的过程中，始终保持于，于．若的长为整数，则的长可以为______．

   

5 . 如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．
   

6 . 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．
   
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，在点的运动过程中，线段的长度是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，平分，点在上，cm，点是射线上的动点，则的最小值为___________cm．

8 . 如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕两端点分别在，上（含端点），且，．设．

(1)当的最小值等于______时，才能使点B落在上一点E处；
(2)当点F与点C重合时，求的长．
(3)当时，点F离点B有多远？

9 . 如图，ABCD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD=10，则PE的最小值为_____．

10 . 如图，四边形ABCD中，∠A = 90°，AB = 3，AD = 4，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB = ∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是 _________ ．