1 . 如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．

+   

(1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；
(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长．

2 . 已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且．

(1)求证：；
(2)如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点．
①求证：；
②若，，，求的长．

3 . 如图，已知中，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．过Q作交于点D，连结，设运动时间是秒时，四边形的面积为S．

(1) _________（用含的代数式表示）；
(2)求S关于的函数解析式，并求出为多少时梯形的面积最大？最大面积是多少？
(3)连结，在运动过程中，能否使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

4 . 如图1，在平面直角坐标系中，已知，且满足，线段交y轴于点F．
   
(1)填空：      ，      ；
(2)如图1，在x轴上求点P，使得的面积与的面积相等．
(3)如图2，点D为y轴正半轴上一点，，且分别平分，求的度数．

6 . 已知，为等边三角形，点在边上．

【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．

7 . 【特例证明】
如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B．求证：，．
【类比探究】
如图2，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论；
【拓展运用】
如图3，中，，，点D在线段上，且，于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．

8 . 【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．

(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值：

/度	10	30	30	20	20
/度	70	70	60	60	80
/度	30	a	15	20	30

上表中＿＿＿＿，于是得到与、的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”，求的度数，并写出与、的数量关系：
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 上”改为“点F是延长线上一点”，其余条件不变，当，时，∠F度数为＿＿＿＿°．
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在 的延长线上，于D，，，其余条件不变，从别作出 和的角平分线，交于点P，试用 x、y表示＿＿＿＿．